幂函数(基本初等函数之一)

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幂函数（功率函数），是基本初等函数之一。一般地，形如（其中a为有理数）的函数叫作幂函数。对幂函数来说，底数（x）是自变量，指数（a）是常数，系数是1。

幂表示相同因数积的运算，又叫作乘方。在中国古代数学中，幂的概念最早可以追溯到《九章算术》中的“方程术”。幂函数是数学家们最早建立并研究的函数模型。幂函数是指数函数与对数函数的复合函数。幂函数的定义域随指数a的不同而不同，所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1，1），奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

函数的幂级数展开是高等数学课程中的重要内容之一，作为一个强有力的数学工具，在数学分析中占有举足轻重的地位，它将复杂的函数表示为简单多项式的无限和。幂函数在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如求解微分方程、近似复杂函数、信号处理等。

定义

一般地，形如（其中为有理数）的函数叫作幂函数。对幂函数来说，底数（x）是自变量，指数（a）是常数，系数是1。

常见的幂函数有：。

幂表示相同因数积的运算，又叫作乘方。例如，（n为正整数）。

为底数，为指数，读作的次幂。例如，读作的平方，读作的立方。

历史

在中国古代数学中，幂的概念最早可以追溯到《九章算术》中的“方程术”。在这本著作中，幂被用来描述矩形面积的计算，即长宽相乘得面积。三国时期的数学家刘徽进一步解释了幂的意义，并将其应用于几何计算。然而，由于对幂的理解不同，唐代的李淳风提出了自己的见解，认为幂应当仅限于单独覆盖的布，而不应与积相混淆。这种观点的分歧反映了古代对数学术语理解的复杂性。

幂函数是数学家们最早建立并研究的函数模型。勒内·笛卡尔在《几何学》中首次使用现代指数符号，将表达平方的传统x*x形式简化为x2，推动幂函数符号标准化。1707年，艾萨克·牛顿在《广义算术》中提出将几何问题转化为方程，认为笛卡尔提出的相对简单的方法太依赖于代数标准了（即定义这些手段的多项式方程的存在，和方程的次数）。法国数学家让·达朗贝尔在《大百科全书》中“函数”一词下这样表述：古代几何学家，更确切地说是古代分析学家，将任一量x的不同次幂称为x的函数。另一位法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《复变函数》《函数微积分教程》等著作中也是这样表述的：“函数”这个词被早期分析学家用来一般性地表示同一个量的幂。其原因很简单：人们生活在三维空间中，在生产、生活中最早遇到的就是度量问题，而一维空间、二维空间和三维空间中最基本的图形分别是线段、正方形和立方体，它们的度量分别为长度、面积和体积。19世纪，奥古斯丁-路易·柯西在《分析教程》（1821）中利用极限理论严格定义幂函数的连续性。

后来，由于逆向问题的研究（如根据面积求边长、根据体积求棱长），有了分数指数幂（即开方）的函数形式；由于物理学中运动过程的研究，逐步出现了负指数的幂函数，以及由前面这些幂函数通过“运算”而形成的较为复杂的函数。

中国从2003年进行高中数学课程改革，在课程基本理念中发展学生的数学应用意识，经过多年实践，取得了一定成效。但落实在具体的函数模型应用方面，如对于幂函数的处理，只强调“体会”层次。在美国以根式函数、法国以多项式函数、日本以分式函数和无理函数、韩国以分式函数和无理函数等其他具体函数形式代替幂函数内容，这样不仅可以具体实用，便于数学模型的建立，而且与高等数学联系紧密，这一点值得中国借鉴。

性质

定义域

幂函数的定义域随指数a的不同而不同，当指数a是正无理数时，规定幕函数y=xa的定义域是[0，+∞）；当a是负无理数时，规定y=xa的定义域是（0，+∞）。

例如，正整数指数幂函数y=x3、y=x2、y=x的定义域是（-∞，+∞）；负整数指数幂函数y=x-1的定义域是（-∞，0）U（0，+∞）；y=x1/2 的定义域是[0，+∞）。

图象分布

幂函数的图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限；幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限；幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

过定点

所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1，1）。

单调性

如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在（0，+∞）上为增函数；如果a<0，则幂函数的图象在（0，+∞）上为减函数。

奇偶性

对于幂函数y=xa ，如果函数定义城里任意一个x，都有f（-x）=-f（x），函数f（x）就叫做奇函数；如果函数定义域里任意一个x，都有f（-x）=f（x），函数f（x）就叫做偶函数。

幂函数增长率

幂函数y=xa的增长率由指数 a 的大小决定，同区间内指数越大，函数增长越快。

在区间(0，+∞)上，函数y=x1/2, y=x，y=x2，y=x3单调递增；

函数y=x-1单调递减，在第一象限内，函数 y=x-1的图象向上与y轴无限接近，向右与ェ轴无限接近。

幂级数展开定理

幂函数核心展开公式（泰勒级数）

以展开中心 z0=1（实域为 x0=1）为例，收敛半径 R=1；

若函数在点附近可以展开成幂级数，即f(x)=a0+a1(x-x0)+...+an(x-x0)n+

则在附近必有任意阶微商，并且有

运算法则

实数域

设 x>0，y>0（保证所有幂函数有意义），r，s∈R，则：

同底幂相乘：xr.xs=xr+s；

同底幂相除：xr/xs=xr−s；

幂的乘方：（xr）s=xr⋅s；

积的幂：（xy）r=xr⋅yr；

复数域

幂函数的指数为复数时，还可以通过复数域的级数求解，首先构造以下复数项级数。

式中，是一个复数，其实部和虚部分别为，均为实常数或者实函数。则的模为。

实部的和可以表示为：

虚部的和可以表示为：

假设实部和虚部的和分别收敛于，则称复数项级数收敛。

如果所有的模构成的级数收敛，则称复数项级数绝对收敛。

例如，复数构成的以下级数是绝对收敛的。

且该级数的和为，即：

由于，也可表示为：

当时，，则

用替换，则

实际应用

函数的幂级数展开是高等数学课程中的重要内容之一，作为一个强有力的数学工具，在数学分析中占有举足轻重的地位，它将复杂的函数表示为简单多项式的无限和。幂函数还在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。

自然科学

在自然科学领域，幂函数被广泛应用于描述各种自然现象。例如，在物理学中，幂函数可以用来描述电流与电阻之间的关系。在电学中，当外加电压E一定时，电流I与电阻R之间的关系：I=ER-1=E/R。在以上式子中，可以看作是一个常量乘以形如xa的幂函数。再比如交流电是按周期变化的，因而会和三角函数发生关系；凡是数量被一确定的物理关系联系起来时，便都需要使用函数。

社会科学

在社会科学领域，幂函数同样发挥着重要作用。例如企业员工业务表现与培训之间的关系可以通过幂函数来描述。

某企业用于检验变量之间线性关系的F检验值为940.6557，对应的概率近似为0.000，说明培训天数与业务表现评分的对数之间线性关系是显著的。用于检验参数是否显著的T检验值分别为99.32和30.67，对应的概率分别近似为0.000和0.000，说明截据项和斜率都与0存在显著差异。另外拟合优度R2=0.99，残差图也表明各点随机分布在-0.10 到 0.10 之间。综上所述，用幂函数来拟合这批数据是比较合适的，拟合结果为:Y^=30.38x1.35X。

工程技术

在工程技术领域，幂函数的应用同样广泛。从工程设计的角度观察到一个重要现象是，在应变控制的LCF（低周疲劳）试验中，大多数的铝锂合金显示出双线性（也被称为“双斜率”）行为，而不是服从式（11-1）~式（11-3）中的双对数线性关系。转折点之后和转折点之前的数据具有不同的幂函数常数。AA8090合金的LCF寿命数据显示出了这一规律。大多数合金表现出双线性行为，也有特例，例如、纯铝、AI-0.7wt%Li、AI-2.5wt%Li（PA）、Al-3wt%Li+Mn（UA）和AA8090-T61 表现出一种简单的线性关系。